16314 - ANALISI MATEMATICA B

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2017/2018

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente conosce ed applica strumenti del calcolo differenziale ed integrale di più variabili reali, dell'analisi complessa e dell'analisi armonica. In particolare, sa studiare localmente e globalmente funzioni di più variabili reali, conosce ed applica l'integrale multi-dimensionale secondo Riemann, conosce la definizione di integrale secondo Lebesgue ed è consapevole della necessità di introdurlo per la completezza di importanti spazi funzionali. Ha acquisito e sa applicare i principali risultati su funzioni olomorfe e meromorfe di una variabile complessa, conosce ed usa la serie e la trasformata di Fourier.

Programma/Contenuti

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali.

Limiti e continuità. Principali funzioni sulle funzioni continue. Derivate direzionali, derivate parziali. Differenziale. Funzioni di classe C^1, Teorema del differenziale totale. Matrice jacobiana, differenziabilità di funzioni composte. Funzioni di classe C^2, Teorema di Schwarz. Formula di Taylor del secondo ordine. Massimi e minimi liberi, classificazione dei punti critici tramite la segnatura della matrice hessiana. Varietà, massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange.

Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali.

Misura di Peano-Jordan in R^n. Integrale di Riemann per funzioni di più variabili. Integrabilità di funzioni continue quasi ovunque. Funzioni sommabili. Riduzione degli integrali multipli. Cambiamenti di variabile.

Integrali curvilinei.

Curve in R^n. Integrali di lunghezza ed integrali di lavoro di campi vettoriali. Campi chiusi, campi esatti.

Analisi complessa.

Funzioni elementari in campo complesso, serie di potenze. Derivata, condizioni di Cauchy-Riemann. Integrali curvilinei in campo complesso.Formula integrale di Cauchy. Le funzioni olomorfe sono analitiche. Funzioni olomorfe in dischi forati. Serie di Laurent. Teorema dei residui. Applicazioni del teorema dei residui a integrali razionali ed integrali oscillanti.

Analisi di Fourier.

Serie complessa e serie reale di Fourier. Teoremi di convergenza puntuale. Dalla serie alla Trasformata. Trasformata di funzioni sommabili, antitrasformata. Proprietà della trasformata, funzioni sommabili assolutamente continue. Trasformata di funzioni di quadrato sommabile, cenni sull'integrale di Lebesgue. Uguaglianza di Parseval. Derivata debole, cenni sulle distrubuzioni, delta di Dirac. Distribuzioni trasformabili, proprietà della trasformata di distribuzioni.

Testi/Bibliografia

1. N. Fusco, P. Marcellini e C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Due, Liguori Editore.
2. G.C. Barozzi, Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione, Ed. Zanichelli (Bologna).

Metodi didattici

Lezioni frontali in aula integrate con esempi e controesempi ed esercizi svolti.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova scritta con esercizi riguardanti gli argomenti del corso seguita da prova orale di verifica sulla comprensione dei concetti fondamentali e sulla conoscenza delle definizioni e degli enunciati dei principali risultati. Di alcuni teoremi, specificati durante il corso, potrà essere richiesta la dimostrazione. Solo chi avrà superato la prova scritta sarà ammesso alla succesiva prova orale. Nel periodo giugno-luglio la prova orale potrà essere sostenuta anche nell'appello successivo a quello in cui è stato superato lo scritto, negli altri periodi la prova orale va sostenuta nello stesso appello.

Strumenti a supporto della didattica

Tutorato.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Nicola Arcozzi